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黄金分割の家

黄金分割で形状と色彩を決めた家の記録
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黄金分割と物理現象 懸垂線

懸垂線ひも

若い時から黄金分割は構造の最適解になっているのではないかと直感で思っていた。なんとなく懸垂線は黄金分割と関係しているのではないかと思った。なにが正しいかは心で判断することにしている。これには訓練と経験が必要だが、だれでも自然に対して謙虚に観察すれば身につくことだと思う。正確な証明は時間がたつと情報で知ったり、その手段が手に入る。
懸垂線とは重力で垂れ下がる紐の曲線のことである。この曲線は紐の長さと抑えている紐の端の位置で決まる。紐は自由に曲がるので、端を回転させても、曲線が変わることがない。人為的に自由にならない曲線である。太さが変わっても、鉄の鎖であっても、一様なひも状態なら、曲線が変わることはない。黄金分割が構造の最適解であるならば、この懸垂線となんらかの関係があるはずと考えたわけである。
橋梁の石のアーチは懸垂線を上下反対にしたものである。たれ下がりが引っ張りの力しか働かない状態で、石のアーチは圧縮しか働かない状態である。この曲線は簡単な微分方程式で与えられる。しかし、数式では近似解が示されているだけだった。近似解に数字を入れて分析すると、微妙に違っていた。
微分方程式を解かなくても表計算エクセルがある。
微小長さを決めて、計算を繰り返せば、曲線が求まるはずである。微小長さを小さく設定しても、パソコンは即答えを出してくれる。微分方程式が解けなくても、原理に基づいて、腕力で計算を繰り返せば答えが出るのだ。
エクセル
水平をXとし垂直をYとした。微小長さを0.1とした。水平力と単位長さあたりの重さを適当に決めて計算した。このケースでXとYとが一致する距離は19.9であった。中心から45度の線と交差する点である。

CADとの比較
エクセルの結果をグラフに書かせた。グラフは縦横の比率が同じでなかったので、CADに画像を取り込んで修正した。
CADとの比較全体
CADはVectorWorksを使っている。VectorWorksにはキュービックスプラインで曲線を描くことができる。昔キュービックスプラインのことを調べたがよくわからなかった。この曲線を使って懸垂線を描くことができることを確認している。昔に鎖のたわみの写真との比較も行ったし、エクセルの計算との比較も行った。このエクセルのグラフとキュービックスプラインで描いた曲線を重ねてしめす。
エクセルのグラフ
これが上の図の拡大図です。エクセルのグラフとキュービックスプラインで描いた曲線とが一致している。キュービックスプラインで懸垂線を描けるわけです。近似解より正確にです。

懸垂線とガイド

エクセルのグラフは45度との交点で13gdの位置に一致するように大きさを調節してある。エクセルのグラフは画像であり正確に数値が決められない。キュービックスプラインで描いた曲線を懸垂線として、懸垂線と黄金分割の関係を調べる。
黄金分割のガイドと懸垂線の交点をしらべる。
懸垂線と黄金分割の関係
懸垂線と黄金分割の関係見やすく


黄金分割と懸垂線の交点はX,Yで 13gd,13gd 12gd,11gd 11gd,9gd 10gd,7gd となっている。X方向が13,12,11,10と一つづつ小さくなって、Y方向が13,11,9,7と二つづつ小さくなっている。
懸垂線が黄金分割点を規則的に通過している。

エクセルのグラフ任意とCADの比較1

エクセルのグラフをXYを正確に同じ比率にしたが、任意の比率で同じことを行ってみた。キュービックスプラインで懸垂線を描くには固定点と中央で連続した折れ曲り線を描く。

エクセルのグラフ任意とCADの比較2

中央の交点をキュービックスプラインの交点に変換する。ただそれだけで、懸垂線が描ける。グラフのどの位置からキュービックスプラインの懸垂線を描いても、グラフとCADの懸垂線は一致する。

黄金分割はただ感覚的にバランスの良い比率だけではなかったのだ。もっと深い意味があって、だからこそバランスがよいと感じたのだと思った。

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